IrMO 1992

Dag 1

Vraag 1

Geef een meetkundige beschrijving van de verzameling punten $(x,y)$ zodat $t^2+yt+x\geq0$ voor alle reële $t$ die voldoen aan $|t|\leq1$.

Vraag 2 Opgelost!

Hoeveel drietallen (reele) getallen $(x,y,z)$ voldoen aan $x^2+y^2+z^2=9,x^4+y^4+z^4=33,xyz=-4$?

Vraag 3 Opgelost!

$A$ heeft $n$ elementen. Hoeveel $(B,C)$ zijn er zodat $\emptyset\neq B\subseteq C\subseteq A$?

Dag 2

Vraag 1

$ABC$ is een driehoek met omgeschreven straal $R$. $A',B',C'$ zijn punten op $BC,CA,AB$ zodat $AA',BB',CC'$ concurrent zijn. Toon aan dat
$$\frac{AB'\cdot BC'\cdot CA'}{\text{oppervlakte}(A'B'C')}=2R.$$

Vraag 2

Een driehoek heeft twee hoekpunten met rationale coördinaten. Toon aan dat het derde hoekpunten rationale coördinaten heeft als en slechts als iedere hoek van de driehoek ofwel een rationale tangens heeft ofwel 90 graden is.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $n>2$ en $m=\sum k^3$ waar de sommatie gebeurt over alle natuurlijke getallen $k$ die onderling ondeelbaar zijn met $n$ en kleiner zijn dan $n$. Toon aan dat $n|m$.

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

De digitale wortel van een natuurlijk getal definiëren we door herhaaldelijk het product van de cijfers van dat getal in basis tien te nemen tot we een enkel cijfer uitkomen. Bijvoorbeeld 24378 wordt 1344 en dan 48, 32 en uiteindelijk 6. Toon aan dat als $n$ als digitale wortel 1 heeft, dan alle cijfers van $n$ 1 zijn.

Vraag 2

Alledrie de wortels van $az^3+bz^2+cz+d$ hebben negatief reëel deel. Toon aan dat $ab>0$ en $bc>ad>0$.

Vraag 3 Opgelost!

Iedere diagonaal van een convexe vijfhoek deelt de vijfhoek op in een driehoek met als oppervlakte $1$ en een vierhoek (niet noodzakelijk oppervlakte $1$). Vind de oppervlakte van de vijfhoek.

Vraag 4 Opgelost!

Toon aan dat we voor $a_i,b_i$ positieve reële getallen en $n$ een natuurlijk getal hebben dat
$$\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}+\sqrt[n]{b_1b_2\ldots b_n}\leq\sqrt[n]{(a_1+b_1)(a_2+b_2)\ldots(a_n+b_n)}$$
met gelijkheid als en slechts als alle verhoudingen $a_i/b_i$ gelijk zijn aan elkaar.