som van derdemachten
Opgave - IrMO 1992 dag 2 vraag 3
Zij $n>2$ en $m=\sum k^3$ waar de sommatie gebeurt over alle natuurlijke getallen $k$ die onderling ondeelbaar zijn met $n$ en kleiner zijn dan $n$. Toon aan dat $n|m$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Hmm...Omdat $\gcd(n,k) = \gcd(n,n-k)$ zit $k$ in die sommatie als en slechts als $n-k$ erin zit. Bijgevolg valt die sommatie op te splitsen in een aantal sommen van de vorm $k^3+(n-k)^3 \equiv n\ (\text{mod }n)$, waaruit het gestelde meteen volgt. Dit lijkt me net íéts te triviaal :huh: