digitale wortel

Opgave - IrMO 1992 dag 3 vraag 1

De digitale wortel van een natuurlijk getal definiëren we door herhaaldelijk het product van de cijfers van dat getal in basis tien te nemen tot we een enkel cijfer uitkomen. Bijvoorbeeld 24378 wordt 1344 en dan 48, 32 en uiteindelijk 6. Toon aan dat als $n$ als digitale wortel 1 heeft, dan alle cijfers van $n$ 1 zijn.

Oplossing

Het is duidelijk dat alle cijfers van $n$ oneven zijn. Als één van de cijfers 5 is, dan is de digitale wortel 5 of 0. Als één van deze cijfers een 3 of 9 is, dan moet op de voorlaatste stap van de worteltrekking het getal deelbaar zijn door $111=3\cdot37$, wat onmogelijk is want enkel priemfactoren van één cijfer zijn toegelaten. Als één van de cijfers een 7 is, dan moet op de voorlaatste stap van de worteltrekking het getal deelbaar zijn door $111111$ (aangezien dit het kleinste getal is van een aantal 1'en dat deelbaar is door 7), maar dit impliceert dan weer dat het deelbaar is door 3, contradictie.