ongelijkheid
Opgave - IrMO 1992 dag 3 vraag 4
Toon aan dat we voor $a_i,b_i$ positieve reële getallen en $n$ een natuurlijk getal hebben dat
$$\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}+\sqrt[n]{b_1b_2\ldots b_n}\leq\sqrt[n]{(a_1+b_1)(a_2+b_2)\ldots(a_n+b_n)}$$
met gelijkheid als en slechts als alle verhoudingen $a_i/b_i$ gelijk zijn aan elkaar.
- login om te reageren
Oplossing
Stel $a_i=c_i.b_i$ voor alle $i$. Dan is de uitdrukking equivalent met
$$\sqrt[n]{b_1b_2\dots b_n}(\sqrt[n]{c_1c_2\dots c_n}+1)\le \sqrt[n]{b_1b_2\dots b_n}.\sqrt[n]{(1+c_1)(1+c_2)\dots (1+c_n)}$$
Dus VTB:
$$\sqrt[n]{c_1c_2\dots c_n}+1 \le \sqrt[n]{(1+c_1)(1+c_2)\dots (1+c_n)}$$
Nemen we de n-de macht van beide leden, dan bekomen we:
$$\sum\limits_{i=1}^n {\binom{n}{i}\sqrt[n]{(c_1c_2\dots c_n)^i}}\le \sum\limits_{i=1}^n {\sum_{sym} {c_1c_2\dots c_i}}$$
Hierbij is
$$\sum_{sym} {c_1c_2\dots c_i}$$ de som over alle termen met $i$ factoren, zodat er $\binom{n}{i}$ termen zijn.
Dit splitsen we op door de verschillende termen v.d. som te bewijzen:
$\binom{n}{i}\sqrt[n]{(c_1c_2\dots c_n)^i}\le \sum_{sym} {c_1c_2\dots c_i}$, dit volgt uit AM-GM.
Gelijkheid geldt dus als alle termen gelijk zijn, i.e. $c_i=c_j$ voor alle $i,j$. Dit betekent dat $\frac{a_i}{b_i}=\frac{a_j}{b_j}$ waarmee het gevraagde bewezen is.