convexe vijfhoek

Noem de oppervlakte van de vijfhoek $O$ en noem de hoeken van de vijfhoek respectievelijk $A,B,C,D,E$.
Nu heeft driehoek $ABC$ dezelfde oppervlakte als driehoek $ABE$. Aangezien hun basissen ($AB$) gelijk zijn, moeten dus ook hun hoogtes gelijk zijn. Dit resulteert in de evenwijdigheid van $AB$ en $CE$. Analoog geldt dit voor alle zijden en hun "overstaande" diagonalen.

Noem $M$ het snijpunt van $BD$ en $CE$. Dan is $DEM$ gelijkvormig met $ACE$ door de vernoemde evenwijdigheid. De oppervlakte van $DEM $ is $O-3$ (want opp $DBC=1=AEB=EBM$ (dit laatste door congruentie)) en de oppervlakte van $ACE$ is $O-2$ (want opp $CDE=ABC=1$). Dus $O-2=k^2(O-3)$. Dan is de gelijkvormigheidsfactor dus $k=\sqrt{\frac{O-2}{O-3}}=\frac{AC}{ED}$

De oppervlakte van trapezium $ACDE=\frac{(AC+ED)\cdot h}{2}=\frac{(ED+\sqrt{\frac{O-2}{O-3}}ED)\cdot h}{2}$
$=\frac{h\cdot ED(\sqrt{\frac{O-2}{O-3}}+1)}{2}$
$=\sqrt{\frac{O-2}{O-3}}+1$
(Waarbij $h$ de hoogte in driehoek $ADE$ van A op ED is).

De opp. Van trapezium $ACDE$ is echter ook gelijk aan $O-1$ omdat opp $ABC=1$.

Dus $\sqrt{\frac{O-2}{O-3}}+1=O-1$
$\Leftrightarrow (O-2)(O-3)=1$
$\Leftrightarrow O^2-5O+5=0$
Wat tot de oplossingen $O=\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}$ maar omdat $O>3$ is enkel $\frac{5+\sqrt{5}}{2}$ een geldige oplossing.

De oppervlakte van de vijfhoek bedraagt $\frac{5+\sqrt{5}}{2}$ wat ongeveer $3,62$ is.