IrMO 1991

Dag 1

Vraag 1

Gegeven drie punten $X,Y,Z$, toon aan hoe je een driehoek $ABC$ kan construeren met midden van omgeschreven cirkel $X$, $Y$ het midden van $BC$ en $BZ$ een hoogtelijn.

Vraag 2

Vind alle veeltermen $p(x)$ van graad kleiner of gelijk aan $n$ die voldoen aan $p(x^2)=p(x)^2$ voor alle reële $x$.

Vraag 3 Opgelost!

Toon aan dat, startend vanaf 4, we met een eindig aantal keer één van volgende (al dan niet verschillende) algoritmen uit te voeren ieder natuurlijk getal kunnen bekomen.
(i) Het getal vertienvoudigen;
(ii) Het getal vertienvoudigen en er vier bij optellen;
(iii) Het getal halveren.

Dag 2

Vraag 1

Acht mensen beslissen dagelijks vergaderingen te houden die onderworpen zijn aan de volgende regels. Iedere dag moet er minstens één persoon de vergadering bijwonen. Een verschillende groep personen moet vergaderingen bijwonen op verschillende dagen. Op dag $N$, voor iedere $1\leq k\leq N$, moet minstens 1 persoon die aanwezig was op dag $k$ de vergadering bijwonen. Hoeveel dagen kunnen deze vergaderingen duren?

Vraag 2

Vind alle veeltermen waarvan alle coëfficiënten plus of min 1 zijn en alle wortels reële getallen zijn.

Vraag 3 Opgelost!

Toon aan dat de som van $m$ opeenvolgende kwadraten geen volkomen kwadraat kan zijn voor $m=3,4,5,6$. Geef een voorbeeld voor $m=11$ waarvoor dit wel waar is.

Dag 3

Vraag 1 Opgelost!

Definieer
$$a_n=\frac{n^2+1}{\sqrt{n^4+4}}$$
voor $n=1,2,3,\ldots$ en stel $b_n=a_1a_2\ldots a_n$. Toon aan dat
$$b_n=\frac{\sqrt{2n^2+2}}{\sqrt{n^2+2n+2}}$$
en dat
$$\frac1{(n+1)^3}<\frac{b_n}{\sqrt2}-\frac n{n+1}<\frac1{n^3}.$$

Vraag 2

$ABC$ is een driehoek en $L$ is de rechte door $C$ parallel met $AB$. De bissectrice van $\angle A$ snijdt $BC$ in $D$ en $L$ in $E$. De bissectrice van $B$ snijdt $AC$ in $F$ en $L$ in $G$. Als $DE=FG$, toon dan aan dat $CA=CB$.

Vraag 3

Vind alle functies $f\mathbb Q^+\rightarrow\mathbb R^+$ zodat $f(x)+f(1/x)=1$ en $f(2x)=2f(f(x))$ voor alle $x\in\mathbb Q^+$.

Vraag 4

Een niet-lege deelverzameling $S$ van de rationalen voldoet aan:
(i) $0\not\in S$;
(ii) $a,b\in S$ impliceert dat $a/b\in S$;
(iii) er is een rationaal getal $q\neq S$ verschillend van 0 zodat als $s$ een niet-nul rationaal is die niet in $S$ zit, dan $s=qt$ voor een bepaalde $t\in S$. Toon aan dat ieder element van $S$ de som is van twee elementen van $S$.