ongelijkheid
Opgave - IrMO 1991 dag 3 vraag 1
Definieer
$$a_n=\frac{n^2+1}{\sqrt{n^4+4}}$$
voor $n=1,2,3,\ldots$ en stel $b_n=a_1a_2\ldots a_n$. Toon aan dat
$$b_n=\frac{\sqrt{2n^2+2}}{\sqrt{n^2+2n+2}}$$
en dat
$$\frac1{(n+1)^3}<\frac{b_n}{\sqrt2}-\frac n{n+1}<\frac1{n^3}.$$
- login om te reageren
Oplossing
Merk op dat $b_1=a_1= \frac{2}{\sqrt5}$ en $b_n=a_n\cdot b_{(n-1) }$ (via de identiteit van sophie-germaine en een beetje rechtoe, rechtaan doorrekenen).
Met inductie volgt dan dat altijd geldt dat $b_n=\prod _{i=1}^{n} a_i.$
$\frac{b_n}{\sqrt2}-\frac n{n+1}= \frac{\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}}-\frac n{n+1}$
$2\frac {n+1}{n+2}>\frac{\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}}+\frac n{n+1}>2\frac n{n+1}$
$(\frac{\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}}+\frac n{n+1})(\frac{\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{(n+1)^2+1}}-\frac n{n+1})=\frac{2n+1}{(n+1)^2(n^2+2n+2)}$ en dan nog 2 keer kruisproduct geeft de oplossing voor de tweede deelvraag.
Hierbij nog het speciale geval $n=1$ apart te bekijken .