som van kwadraten

Omdat elke som van 3 opeenvolgende VK'en geschreven kan worden als $(k-1)^2+k^2+(k+1)^2 = 3k^2+2 \equiv 2\ (\text{mod }3)$ en aangezien 2 geen kwadraatrest is modulo 3, kan de som van die 3 opeenvolgende VK'en geen VK zijn.

Omdat elke som van 4 opeenvolgende VK'en geschreven kan worden als $(k-1)^2+k^2+(k+1)^2+(k+2)^2 = 4k^2+4k+6 \equiv 2\ (\text{mod }4)$ en aangezien 2 geen kwadraatrest is modulo 4, kan de som van die 4 opeenvolgende VK'en geen VK zijn.

Omdat elke som van 5 opeenvolgende VK'en geschreven kan worden als $(k-2)^2+(k-1)^2+k^2+(k+1)^2+(k+2)^2 = 5k^2+10 = 5(k^2+2)$, moet $k^2+2$ het vijfvoud zijn opdat de som van die 5 VK'en een VK zou zijn. Maar dan moet $k^2 \equiv 3\ (\text{mod } 5)$, hoewel 3 geen kwadraatrest is modulo 5. Contradictie.

Omdat elke som van 6 opeenvolgende VK'en geschreven kan worden als $(k-2)^2+(k-1)^2+k^2+(k+1)^2+(k+2)^2+(k+3)^2 = 6k^2+6k+19 = 6k(k+1)+19 \equiv 3\ (\text{mod } 4)$ en aangezien 3 geen kwadraatrest is modulo 4, kan de som van die 6 opeenvolgende VK'en geen VK zijn.

En ja, $18^2+19^2+...+28^2 = 77^2$.