IrMO 1990
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
In een carthesiaans assenstelsel, vind het aantal rechthoeken met zijden parallel aan de coördinaatassen, waarvan de hoekpunten allemaal van de vorm $(a,b)$ met $a$ en $b$ natuurlijke getallen $0\leq a,b\leq n$.
Vraag 2 Opgelost!
De rij $a_1,a_2,\ldots$ wordt gedefinieerd door $a_1=2$, $a_n$ is de grootste priemdeler van $a_1a_2\ldots a_{n-1}+1$. Toon aan dat 5 niet in de rij voorkomt.
Vraag 3
Bestaan er functies $f\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ die voldoen aan
$$f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))$$
voor alle $n>1$?
Dag 2
Vraag 1
Vind het grootste natuurlijk getal $n$ waarvoor we een reëel getal $x$ kunnen vinden zodat
$$2^m
Vraag 2 Opgelost!
In de driehoek $ABC$ is $\angle A=90^\circ$. $X$ is het voetpunt van de hoogtelijn uit $A$ en $D$ is de spiegeling van $A$ in $B$. $Y$ is het midden van $XC$. Toon aan dat $DX\bot AY$.
Vraag 3 Opgelost!
Als $a_n=\pm1$ en $a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n+a_na_1=0$, toon aan dat $n$ een veelvoud is van 4.
Dag 3
Vraag 1
Bewijs dat
$$\sum_{i=3}^n\frac1{n^3}<\frac1{12}.$$
Vraag 2 Opgelost!
$p_1 < p_2 < \cdots < p_{15}$ zijn priemgetallen die een rekenkundige rij vormen. Toon aan dat hun verschil een veelvoud is van $2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$.
Vraag 3
Zij $a_n=2\cos(t/2^n)-1$. Vereenvoudig $a_1a_2\ldots a_n$ en leid af dat het naar $(2\cos t+1)/3$ convergeert.
Vraag 4
Zij $T$ de verzameling van alle $(2k-1)$-tallen met elementen allemaal gelijk aan 0 of 1. Er bestaat een deelverzameling $S$ van $T$ met $2^k$ elementen zodat gegeven een element $x$ van $T$, er bestaat een element in $S$ die in maximum drie posities met $x$ niet overeenkomt. Als $k>5$, toon aan dat dan $k=12$.
