15 priemgetallen
Opgave - IrMO 1990 dag 3 vraag 2
$p_1 < p_2 < \cdots < p_{15}$ zijn priemgetallen die een rekenkundige rij vormen. Toon aan dat hun verschil een veelvoud is van $2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Stel nu dat het verschil $k$ niet deelbaar is door $2,3,5,7,11$ of $13$, en stel dat dat priemgetal $q$ is. Dan hebben $p_1,p_1+k,p_1+2k, \dots p_1+14k$ alle resten van $q$ doorlopen, aangezien ze copriem zijn met $q$. Aangezien $q\le 13$ en er $15$ termen in de rij zijn, zal er minstens één priemgetal zijn met $p_i \equiv 0 \mod{q}$. Dit is een contradictie. $\blacksquare$