loodrechte stand
Opgave - IrMO 1990 dag 2 vraag 2
In de driehoek $ABC$ is $\angle A=90^\circ$. $X$ is het voetpunt van de hoogtelijn uit $A$ en $D$ is de spiegeling van $A$ in $B$. $Y$ is het midden van $XC$. Toon aan dat $DX\bot AY$.
- login om te reageren
Oplossing
Merk op dat $\Delta AXC \sim \Delta BAC$ (twee gelijke hoeken), dus $|CX||AB| = |CA||XA|$. Bijgevolg is $$\begin{aligned} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{CY}\cdot\overrightarrow{DA} & = |AC||AX|\cos\left(\angle CAX\right)+\overrightarrow{CX}\cdot\overrightarrow{DB} \\ & = |AC||AX|\cos\left(\angle CAX\right) - \overrightarrow{XC}\cdot\overrightarrow{BA} \\ & = |AC||AX|\cos\left(\angle CAX\right) - |CX||AB|\cos\left(\angle ABC\right)\end{aligned}$$Aangezien $\angle CAX = 90^{\circ} - \angle ACB = \angle ABC$, is dit laatste gelijk aan nul. Bijgevolg zal $$\begin{aligned}\overrightarrow{AY}\cdot\overrightarrow{DX} & = \left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CY}\right)\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AX}\right) \\ & = \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AX}+\overrightarrow{CY}\cdot\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CY}\cdot\overrightarrow{AX} = 0 + 0 + 0 = 0\end{aligned}$$En daaruit volgt $AY\bot DX$.
Iemand een synthetische oplossing? :smile:
Iemand een synthetische oplossing? :smile:
Tuurlijk :grin:
Je kan bijvoorbeeld bewijzen dat $\Delta AYC$ en $\Delta DXA$ gelijkvormig zijn (zeer eenvoudig) en dan ben je klaar omdat $\angle A = 90^{\circ}$
Een snel zelfgemaakt bijvraagje:
Noem $G$ en $H$ de snijpunten van $AY$ met cirkel die $[CX]$ als diameter heeft. Noem $F$ het tweede snijpunt van diezelfde cirkel met $AC$.
Bewijs dat $DX, CG, HF$ concurrent zijn. :wink: