IrMO 1989
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
$S$ is een vierkant met zijde 1. De punten $A,B,C,D$ liggen op de zijden van $S$ in die volgorde en iedere zijde van $S$ bevat minstens 1 punt van $A,B,C,D$. Bewijs dat
$$2\leq AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\leq4.$$
Vraag 2
Een magisch vierkant is een $3\times3$ vierkant van natuurlijke getallen zodat iedere rij, iedere kolom, en alle twee de hoofddiagonalen som $m$ hebben. Toon aan dat $m$ een veelvoud moet zijn van drie en dat het grootste getal in een magisch vierkant maximum $2m/3-1$ is.
Vraag 3 Opgelost!
De rij $a_1,a_2,a_3,\ldots$ wordt gedefinieerd door $a_1=1,a_{2n}=a_n,a_{2n+1}=a_{2n}+1$. Vind het grootste element uit $a_1,\ldots,a_{1989}$ en het aantal keer dat het voorkomt.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
$n^2$ eindigt op $m$ gelijke cijfers, verschillend van 0, in basis 10. Wat is de grootst mogelijke waarde voor $m$?
Vraag 2
Een $n$-cijferig getal heeft de eigenschap dat, als je zijn cijfers cyclisch permuteert, het altijd deelbaar blijft door 1989. Wat is de kleinst mogelijke waarde van $n$? Welk is het kleinst dergelijke getal?
Vraag 3
$L$ is een vaste rechte, $A$ een vast punt, $k>0$ een vast reëel getal. $P$ is een variabel punt op $L$, $Q$ het punt op de rechte $AP$ zodat $AP\cdot AQ=k^2$. Vind de meetkundige plaats van $Q$.
Dag 3
Vraag 1
Ieder van $n$ mensen heeft een uniek stuk informatie. Ze willen de informatie aan elkaar doorgeven. Ieder persoon mag echter slechts aan één persoon tegelijk alle informatie doorgeven die hij/zij bezit. Wat is het kleinst aantal overdrachten dat moet gebeuren zodat iedere persoon alle informatie bezit?
Vraag 2
Zij $k$ het product van de afstanden van $P$ tot de zijden van de driehoek $ABC$. Toon aan dat als $P$ in het inwendige van $ABC$ ligt, dat $AB\cdot BC\cdot CA\geq8k$ met gelijkheid als $ABC$ gelijkzijdig is.
Vraag 3 Opgelost!
Toon aan dat
$$\sqrt[3]{n+\sqrt{n^2+1}}+\sqrt[3]{n-\sqrt{n^2+1}}$$
een natuurlijk getal is als en slechts als
$$n=\frac{m(m^2+3)}2$$
voor een zeker natuurlijk getal $m$.
Vraag 4
(a) Toon aan dat
$$\binom{2n}n<2^{2n}$$
en dat de linkerkant deelbaar is door alle priemgetallen $p$ zodat $n
$$\pi(2n)<\pi(n)+\frac{2n}{\log_2n}$$
en
$$\pi(2^n)<\frac1n2^{2n+1}\log_2(n-1).$$
Leid af dat voor $x\geq8$, dat
$$\pi(x)<\frac{4x}{\log_2x}\log_2(\log_2x).$$
