diophantische vergelijking
Opgave - IrMO 1989 dag 3 vraag 3
Toon aan dat
$$\sqrt[3]{n+\sqrt{n^2+1}}+\sqrt[3]{n-\sqrt{n^2+1}}$$
een natuurlijk getal is als en slechts als
$$n=\frac{m(m^2+3)}2$$
voor een zeker natuurlijk getal $m$.
- login om te reageren
Oplossing
Stel $\sqrt[3]{n+\sqrt{n^2+1}} = a$ en $\sqrt[3]{n-\sqrt{n^2+1}} = b$. Dan is $ab = -1$ en $a^3+b^3 = 2n$. Er is gegeven dat $a+b = k$ voor een zekere $k\in\mathbb{Z}$, dus $2n = a^3+b^3 = (a+b)((a+b)^2-3ab) = k(k^2+3)$. En we zijn klaar.
Edit: of dan toch bijna. Dat was de ene implicatie. Nu aannemen dat $n = \frac{m(m^2+3)}{2}$ en daaruit afleiden dat $a+b = m$. Klaar.