reeks 2 2010

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bart liegt op zes dagen van de week, maar op de zevende dag vertelt hij altijd de
waarheid.
Op een dag zegt hij "Ik lieg op maandag en dinsdag.", de dag erna vertelt
hij "Vandaag is het donderdag, zaterdag of zondag." en nog een dag later beweert hij
te liegen op woensdag en vrijdag.
Op welke dag van de week vertelt Bart de waarheid?

Vraag 2 Opgelost!

Zij $n \in N$. Stel dat $a_0$ tot $a_n$ $n+1$ reele getallen zijn waarvoor geldt dat
$0=a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+ \frac{a_n}{n+1}$
Bewijs dat er een reeel getal $x$ bestaat zodat $a_nx^n + a_{n-1}x^n + \cdots+ a_1x + a_0 = 0.$

Vraag 3

Zij $a_1,a_2 \cdots a_n$ verschillende gehele getallen en beschouw de veelterm
$P(x) = (x - a_1)(x - a_2) \cdots (x - a_n) - 1$
Toon aan dat $P(x)$ irreducibel is over $\mathbb{Z}.$

Vraag 4 Opgelost!

Vind alle priemgetallen $p > 2$ waarvoor geldt dat zowel $0.5(p+1)$ als $0.5 (p^2+1)$ volkomen
kwadraten zijn. (Een volkomen kwadraat is het kwadraat van een geheel getal.)

Vraag 5

(a) Stel dat A en B twee complexe $n \times n$ matrices zijn waarvoor er $a, b \in \mathbb{R_0}$ bestaan zodat $AB = aA + bB$. Bewijs dat $A$ en $B$ commuteren.
(b) Zij A en B complexe $n \times n$ matrices ($n \ge1$) en zij In de $n \times n$ eenheidsmatrix.
Bewijs dat als $AB - B^2A^2 = I_n$ en $A^3 = -B^3$, dan is $ BA - A^2B^2 = I_n.$

Vraag 6 Opgelost!

We noemen een functie $f$ : $[0, 1] \to \mathbb R$ Winees als $f$ continu is en
$\int_{0}^{1} f(x)dx =\int_{0}^{1} x f(x)dx = 1$

(a) Bepaal een Winese functie $g$ : $[0,1] \to R$ van de vorm $g(x) = ax+b$, met $a, b \in R.$
(b) Zij $f$ : $[0, 1] \to \mathbb R$ Winees . Bewijs dat
$\int_{0}^{1}[ f(x)]^2dx \ge 4$