int Int \int
Opgave - reeks 2 2010 dag 1 vraag 6
We noemen een functie $f$ : $[0, 1] \to \mathbb R$ Winees als $f$ continu is en
$\int_{0}^{1} f(x)dx =\int_{0}^{1} x f(x)dx = 1$
(a) Bepaal een Winese functie $g$ : $[0,1] \to R$ van de vorm $g(x) = ax+b$, met $a, b \in R.$
(b) Zij $f$ : $[0, 1] \to \mathbb R$ Winees . Bewijs dat
$\int_{0}^{1}[ f(x)]^2dx \ge 4$
- login om te reageren
Oplossing
(a) Het stelsel $\frac12a+b=1$, $\frac13a+\frac12b=1$ leidt tot $a=6$ en $b=-2$.
(b) Merk op dat als $f$ en $g$ winees zijn, dan ook $af+bg$ indien $a+b=1$. Zij nu een winese $f$ gegeven en stel $g(x)=6x-2$. Voor elke $\epsilon\neq0$ kunnen we $f$ dan schrijven als $(1-\epsilon)g+\epsilon h$ met $h$ winees.
Dus $$\begin{align}\int_0^1f(x)^2
&=(1-\epsilon)^2\int_0^1g^2+2\epsilon(1-\epsilon)\int_0^1gh+\epsilon^2\int_0^1h^2\\
&=(1-\epsilon)^2\left(6\int_0^1xg-2\int_0^1g\right)+2\epsilon(1-\epsilon)\left(6\int_0^1xh-2\int_0^1h\right)+\epsilon^2\int_0^1h^2\\
&=(1-\epsilon)^2(6-2)+2\epsilon(1-\epsilon)(6-2)+\epsilon^2\int_0^1h^2\\
&\geq4(1-\epsilon^2).
\end{align}$$
Laten we $\epsilon\to0$, dan blijkt dat $\int_0^1f(x)^2\geq4$.