nog'ns voor iedere WINAsolver

Opgave - reeks 2 2010 dag 1 vraag 2

Zij $n \in N$. Stel dat $a_0$ tot $a_n$ $n+1$ reele getallen zijn waarvoor geldt dat
$0=a_0+\frac{a_1}{2}+\cdots+ \frac{a_n}{n+1}$
Bewijs dat er een reeel getal $x$ bestaat zodat $a_nx^n + a_{n-1}x^n + \cdots+ a_1x + a_0 = 0.$

Oplossing

Beschouw de functie $f(x)=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\frac{a_{n-1}}nx^n+...+\frac{a_1}2x^2+a_0x$.
Omdat $f(0)=f(1)=0$ bestaat er wegens de middelwaardestelling een $y\in]0;1[$ waarvoor $f'(y)=0$, dus $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0$