beginners-NT 4

Voor $p<10$ valt gemakkelijk na te gaan dat enkel $p = 7$ voldoet. Veronderstel dus vanaf nu dat $p \geq 10$.

Schrijf
$$\frac{p+1}{2} = a^2 ,\quad \frac{p^2+1}{2} = b^2$$
Dan volgt hieruit dat
$$p^2-p = 2(b^2-a^2) = 2(b-a)(b+a)$$
Nu is $p$ priem, dus deelt één van de drie factoren van het rechterlid: $2$, $b-a$ of $b+a$.
$p \mid 2$ is absurd, beschouw dus de overige twee gevallen:

Stel dat $p | b-a$, dan volgt hieruit dat $p \leq b-a$ (alle getallen zijn positief en $b>a$). Dit impliceert dat $p-1 < b-a < b+a < 2(b+a)$ waaruit volgt dat $p^2-p < 2(b^2-a^2)$, een contradictie.

Stel nu eens dat $p | b+a$, dan is $p \leq b+a$ zodat $p-1 < b+a$. We beweren nu dat $b+a \leq 2(b-a)$, wat wederom dezelfde contradictie zal opleveren. Om die laatste gelijkheid in te zien, moet er opgemerkt worden dat deze equivalent is met $b \geq 3a$, wat op zijn beurt equivalent is met $p^2-9p-8 \geq 0$. Maar dit laatste is voldaan aangezien $p \geq 10$.

We besluiten dat $p \geq 10$ onmogelijk is, en dat $p = 7$ de enige oplossing is.