EGMO 2021

Dag 1

Vraag 1

Het getal $2021$ is \emph{fabeltastisch}. Als één van de getallen $\{m,2m+1,3m\}$ fabeltastisch is voor een (strikt) positief geheel getal $m$, dan zijn ze allemaal fabeltastisch. Volgt hieruit dat het getal $2021^{2021}$ fabeltastisch is?

Vraag 2

Laat $\mathbb{Q}$ de verzameling van rationale getallen (breuken) zijn. Vind alle functies $f\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ zodanig dat
\[
f(xf(x)+y)=f(y)+x^2
\]
voor alle rationale getallen $x$ en $y$.

Vraag 3

Laat $\triangle ABC$ een driehoek zijn zodat $\angle BAC > 90^{\circ}$. Laat $E$ en $F$ de snijpunten zijn van de buitenbissectrice (buitendeellijn) van hoek $A$ met de hoogtelijnen van $\triangle ABC$ door respectievelijk $B$ en $C$. De punten $M$ en $N$ liggen respectievelijk op lijnstukken $EC$ en $FB$ zodat $\angle EMA = \angle BCA$ en $\angle ANF = \angle ABC$. Bewijs dat de punten $E$, $F$, $N$ en $M$ op één cirkel liggen.

Dag 2

Vraag 1

Laat $\triangle ABC$ een driehoek zijn en $I$ het middelpunt van zijn ingeschreven cirkel. Laat $D$ een willekeurig punt op zijde $BC$ zijn. De lijn (rechte) door $D$ loodrecht op $BI$ snijdt $CI$ in $E$. De lijn (rechte) door $D$ loodrecht op $CI$ snijdt $BI$ in $F$. Bewijs dat het spiegelbeeld van $A$ in de lijn (rechte) $EF$ op de lijn (rechte) $BC$ ligt.

Vraag 2

Een vlak heeft een speciaal punt $O$ dat de oorsprong genoemd wordt. Laat $P$ een verzameling zijn van $2021$ verschillende punten in het vlak zodat

(i) er geen $3$ punten in $P$ zijn die op één lijn (rechte) liggen en
(ii) er geen $2$ punten in $P$ zijn die op één lijn (rechte) door de oorsprong $O$ liggen.
\end{enumerate}
Een driehoek met hoekpunten in $P$ heet \emph{dik} als de oorsprong $O$ (strikt) binnen de driehoek ligt. Bepaal het maximale aantal dikke driehoeken.

Vraag 3

Bestaat er een geheel getal $a \geq 0$ zodat de vergelijking
\[
\left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor +
\left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots +
\left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a
\]
meer dan 1 miljoen verschillende oplossingen $(m,n)$ heeft waarbij $m$ en $n$ (strikt) positieve gehele getallen zijn?

De entier $\lfloor x\rfloor$ van een reeël getal $x$ is het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan $x$. Dus $\lfloor \sqrt 2\rfloor =1$,
$\lfloor \pi \rfloor = \lfloor 22/7 \rfloor = 3$, $\lfloor 42
\rfloor = 42$ en $\lfloor 0 \rfloor= 0$.