EGMO 2019

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle drietallen $(a,b,c)$ van reële getallen zo dat $ab+bc+ca =1$ en
$$a^2b+c = b^2c+a = c^2a+b.$$

Vraag 2

Zij $n$ een (strikt) positief geheel getal. Op een $2n \times 2n$-bord worden dominostenen neergelegd op zo’n manier dat elk vakje van het bord grenst aan precies één vakje dat bedekt wordt door een dominosteen. Bepaal voor elke n het grootste aantal dominostenen dat op deze manier op het bord gelegd kan worden. (Een dominosteen is een $2 \times 1$ - of $1 \times 2$-tegel. De dominostenen worden op het bord gelegd zodat elke dominosteen precies twee vakjes bedekt, en dominostenen overlappen elkaar niet. Twee vakjes grenzen aan elkaar als ze verschillend zijn en een zijde gemeen hebben.)

Vraag 3

Zij $ABC$ een driehoek met $\angle CAB > \angle ABC$, en zij $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel van $\triangle ABC.$ Zij $D$ het punt op lijnstuk $BC$ zodat $\angle CAD = \angle ABC$. Zij $\omega$ de cirkel door $I$ die raakt aan $AC$ in $A$. Zij $X$ het tweede snijpunt van $\omega$ en de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$. Bewijs dat de bissectrices van $\angle DAB$ en $\angle CXB$ snijden op $BC$.
.

Dag 2

Vraag 1

Zij $ABC$ een driehoek met $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel.
De cirkel door $B$ die raakt aan $AI$ in $I$ snijdt zijde $AB$ nogmaals in $P$.
De cirkel door $C$ die raakt aan $AI$ in $I$ snijdt zijde $AC$ nogmaals in $Q$.
Bewijs dat $PQ$ raakt aan de ingeschreven cirkel van $\triangle ABC$.

Vraag 2

Zij $n \geq 2$ een geheel getal, en laat $a_1, a_2, \ldots, a_n$ (strikt) positieve gehele getallen zijn. Bewijs dat er (strikt) positieve gehele getallen $b_1, b_2, \ldots, b_n$ bestaan die aan de volgende drie voorwaarden voldoen:

$a_i \leq b_i$ voor $i = 1, 2, \ldots, n$;
de resten van $b_1, b_2, \ldots, b_n$ na deling door $n$ zijn allemaal verschillend; en
$\displaystyle b_1 + \dots + b_n \leq n \left( \frac{n-1}{2} + \left\lfloor \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \right\rfloor \right).$

(Hier staat $\lfloor x\rfloor$ voor het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan~$x$.)

Vraag 3

Alina tekent $2019$ koorden op een cirkel, met allemaal verschillende eindpunten. (Een koorde is een lijnstuk tussen twee verschillende punten op een cirkel.) Een gemarkeerd punt is een punt dat ofwel

één van de $4038$ eindpunten van een koorde is; ofwel
het snijpunt van minstens twee koorden is.

Alina schrijft een getal bij elk gemarkeerd punt. Bij 2019 van de $4038$ punten uit (i) schrijft Alina een 0 en bij de andere 2019 punten uit (i) schrijft Alina een 1. Bij elk punt uit (ii) schrijft ze een willekeurig geheel getal (niet noodzakelijk positief).

Alina bekijkt steeds een lijnstuk tussen twee naast elkaar gelegen gemarkeerde punten. (Een koorde met $k$~gemarkeerde punten bevat $k-1$ van zulke lijnstukken.) Van de twee getallen die bij deze punten staan, schrijft Alina bij het lijnstuk in het geel de som en in het blauw het absolute verschil. Ze doet dit voor alle lijnstukken op alle koorden.
%Ze schrijft bij elk zo'n lijnstuk in geel de som van de twee getallen die horen bij de eindpunten van dat lijnstuk en in blauw het absolute verschil van die twee getallen.

Alina ontdekt dat bij de $N+1$ gele getallen elke waarde uit $0,1, \ldots, N$ precies
één keer voorkomt. Bewijs dat er een blauw getal bestaat dat een veelvoud van 3 is.