Als de EGMO net na de JEMC komt...

Triviale geval
Uit de voorwaarde volgt dat hoogstens 1 letter nul kan zijn, w.l.o.g. noem deze letter a.
dan zien we dat $c=a^2b+c=c^2a+b=b$. Dus dan is $b=c \in \{-1, 1 \}$ door de voorwaarde.
Dit geeft ons 6 oplossingen:$\left\{\left(-1,-1,0\right),\left(0,-1,-1\right),\left(-1,0,-1\right),\left(1,1,0\right),\left(0,1,1\right),\left(1,0,1\right)\right\}$

Niet triviale geval
Stel dat $0\notin\left\{a,b,c\right\}$
We trekken in de gelijkheid overal $a^2b+b^2c+c^2a$ van af en dan krijgen we:
$a\left(1-ab-c^2\right)=b\left(1-bc-a^2\right)=c\left(1-ca-b^2\right)$
Nu maken we gebruik van de voorwaarde:
$a\left(bc+ac-c^2\right)=b\left(ac+ab-a^2\right)=c\left(ab+bc-b^2\right)$
En we werken het weer distributief uit:
$abc+a^2c-c^2a=abc+b^2a-a^2b=abc+c^2b-b^2c$
$abc$ kunnen we overal schrappen en dan krijgen we:
$a^2c-c^2a=b^2a-a^2b=c^2b-b^2c$(1)
Dus is $a^2c+a^2b=b^2a+c^2a$ en hierdoor is $ab+ac=b^2+c^2$.
Analoog vinden we ook dat $ba+bc=a^2+c^2$ en $ca+cb=a^2+b^2$.
Optellen geeft: $1=ab+bc+ac=a^2+b^2+c^2$
Wegens AM-GM betekent dit dat $a=b=c$.
Dit geeft dan door de voorwaarde twee "niet triviale" oplossingen: $\left(-\sqrt{\frac{1}{3}},-\sqrt{\frac{1}{3}},-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$ en
$\left(\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$.

Alle oplossingen zijn dus gegeven door
$ \pm (a,b,c)\in\left\{\left(1,1,0\right),\left(0,1,1\right),\left(1,0,1\right), \left(\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{1}{3}},\sqrt{\frac{1}{3}}\right)\right\}.$
Een controle leert ons dat deze oplossingen voldoen.