n getallen vinden

Zij $n \geq 2$ een geheel getal, en laat $a_1, a_2, \ldots, a_n$ (strikt) positieve gehele getallen zijn. Bewijs dat er (strikt) positieve gehele getallen $b_1, b_2, \ldots, b_n$ bestaan die aan de volgende drie voorwaarden voldoen:

$a_i \leq b_i$ voor $i = 1, 2, \ldots, n$;
de resten van $b_1, b_2, \ldots, b_n$ na deling door $n$ zijn allemaal verschillend; en
$\displaystyle b_1 + \dots + b_n \leq n \left( \frac{n-1}{2} + \left\lfloor \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} \right\rfloor \right).$

(Hier staat $\lfloor x\rfloor$ voor het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan~$x$.)