EGMO 2015

Dag 1

Vraag 1

Zij $\triangle ABC$ een scherphoekige driehoek en zij $D$ het voetpunt van de hoogtelijn vanuit
$C$. De bissectrice van $\angle ABC$ snijdt $CD$ in $E$ en snijdt de omgeschreven cirkel $\omega$ van driehoek $\triangle ADE$ nogmaals in $F$. Veronderstel dat $\angle ADF = 45$°. Bewijs dat $CF$ raakt aan $\omega$.

Vraag 2

Een domino is een $2 \times 1$- of $1 \times 2$-tegel. Bepaal op hoeveel manieren precies $n^2$ domino’s zonder overlap op een $2n\times 2n$-schaakbord kunnen worden geplaatst zodat elk $2\times 2$-vierkant minstens twee onbedekte eenheidsvierkantjes bevat die in dezelfde rij of dezelfde kolom liggen.

Vraag 3

Laat $n, m$ gehele getallen groter dan $1$ zijn en laat $a_1, a_2, . . . , a_m$ positieve gehele getallen niet groter dan $n^m$ zijn. Bewijs dat er positieve gehele getallen $b_1, b_2, . . . , b_m$ niet groter dan $n$ bestaan zodat
$$ggd(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_m + b_m) < n$$

Dag 2

Vraag 1

Bepaal of er een oneindige rij $a_1, a_2, a_3,\dots $ van positieve gehele getallen bestaat met de eigenschap dat
$$a_{n+2} = a_{n+1} +\sqrt{a_{n+1} + a_n}$$
voor elke positieve gehele $n$ geldt.

Vraag 2

Laat $m, n$ positieve gehele getallen zijn met $m > 1$. Anastasia deelt de getallen $1, 2, . . . , 2m$ op in $m$ paren. Daarna kiest Boris één getal van elk paar en berekent de som van deze gekozen getallen.
Bewijs dat Anastasia de paren zo kan maken dat Boris niet op een som gelijk aan $n$ kan uitkomen.

Vraag 3

Zij $H$ het hoogtepunt en $G$ het zwaartepunt van een scherphoekige driehoek $\triangle ABC$ met $|AB| \ne |AC|$. De lijn $AG$ snijdt de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ in $A$ en $P$. Zij $P'$ de spiegelingvan P in de lijn BC. Bewijs dat $\angle CAB = 60$° dan en slechts dan als $|HG| = |GP'|$.