IMOSL 2008

Dag 1

Vraag 5

$a,b,c,d \in \mathbb{R^+}$ zodat $abcd=1$
bewijs dat als $\sum_{cyc}^{4}\frac{a}{b} < a+b+c+d$ dat geldt dan $\sum_{cyc}^{4}\frac{b}{a}>a+b+c+d$

Vraag 7

Laat $a,b,c,d \in \mathbb{R+}$ zijn, bewijs dat

$\sum_{cyc}^{4} \frac{(a-b)(a-c)}{(a+b+c)} \ge 0 $

en bepaal alle gevallen waarin gelijkheid geldt.

Vraag 9 Opgelost!

Voor elk natuurlijk getal $n$, Bepaal het aantal permutaties $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ van de verzameling $\{1, 2, \dots , n\}$ met de volgende eigenschap:
$2(a_1 + a_2 + · · · + a_k)$ is deelbaar door $k$ voor $k = 1, 2, \dots , n$

Vraag 10

In het assenstelsel beschouwen we enkel punten met gehele coordinaten.
$2$ punten $A,B$ worden k-vrienden genoemd als er een derde punt $C$ bestaat zodat $[ABC]=k \in \mathbb{N}.$
Een verzameling met punten $T$ is een k-kliek genoemd als iedere $2$ punten uit $T$ k-vrienden zijn.
Vind de kleinste waarde van $k$ als $|T| \ge 200$ en zodat $T$ een k-kliek is.

Vraag 11

$n,k$ zijn natuurlijke getallen zodat $k\ge n$ en $2|k-n.$
We hebben $2n$ lampen geordend van $1$ tot $2n.$
In het begin zijn alle lampen uit.
Bij iedere stap doen we een lamp branden of doven we een brandende lamp.
(we wisselen de status van $1$ lamp)
Het aantal manieren bestaande uit $k$ stappen om alle lampen van $1$ tot $n$ te doen branden en de andere gedoofd te laten, noemen we $N.$
( de lampen van $n+1$ tot $2n$ mogen aan zijn geweest, maar zijn bij het einde uit)
Het aantal manieren die behoren tot $N$, maar waarbij de lampen $n+1$ tot $2n$ allen gedurende de $k$ stappen gedoofd bleven, noemen we $M.$
Bepaal $\frac{N}{M}.$

Vraag 14

Zij $H$ het hoogtepunt van een scherphoekige driehoek $ABC$. De cirkel $\Gamma_A$ met als middelpunt het midden van $BC$, gaande door $H$, snijdt $BC$ in twee punten die we $A_1$ en $A_2$ noemen. Analoog benoemen we $B_1,B_2,C_1$ en $C_2$. Bewijs dat de zes punten $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1$ en $C_2$ op een cirkel liggen.

Vraag 20 Opgelost!

$ABCD$ is een convexe vierhoek met $\Gamma_1$ en $\Gamma_2$ de incirkels van $\triangle{ABC}$ en $\triangle{ADC}$ respectievelijk.

Stel dat er een cirkel $\Gamma$ is die raakt aan de (verlengde) zijden $BC,AB,AD,CD.$

Bewijs dat de gemeenschappelijke uitwendige raaklijnen van $\Gamma_1$ en $\Gamma_2$ elkaar snijden op $\Gamma$

Vraag 21

Zij n een positief geheel getal en zij k een oneven natuurlijk getal.
Laat bovendien a, b en c gehele getallen zijn (niet noodzakelijk positief) waarvoor geldt:
$a^n + kb= b^n + kc = c^n+ka $:
Bewijs dat $a = b = c.$

Vraag 24

$n\in \mathbb{N}$, bewijs dat de getallen

${2^n-1\choose 0},{2^n-1\choose 1},\cdots,{2^n-1\choose 2^{n-1}-1}$ alle oneven resten van $1$ tem $2^n-1$ modulo $2^n$ bevat in een bepaalde volgorde.

Vraag 26

Bewijs dat er oneindig veel getallen $n$ bestaan zodat $n^2+1$ een priemfactor groter dan $2n+\sqrt{2n}$ heeft.