G7

Zei $P,Q,R,S$ de raakpunten van $\Gamma$ aan $AB, CD, AD, BC$ respectievelijk.

Er geldt dat $$AD+BA+DR=BA+AR=BA+AP=BP=BS=BC+CS$$
$$=BC+CQ=BC+CD+DQ=BC+CD+DR$$

en dus $AD+BA=BC+CD$

Zei $K$ het raakpunt van $\Gamma_1$ aan $AC$ en zei $M$ het punt zodat $MK$ een diameter is van $\Gamma_1$. Zei $L$ het snijpunt van $BM$ en $AC$. Een bekend lemma* zegt dan dat $CL=AK$ en omdat $AK=\frac12(AC+AB-BC)=\frac12(AC+CD-AD)$ volgt dat $L$ het raakpunt is van $\Gamma_2$ aan $AC$. Zij $N$ het punt waarvoor $LN$ een diameter is van $\Gamma_2$. Een analoge redenering als hierboven geeft dat $K,N,D$ collineair zijn.

We definiëren $T$ als het punt op $\Gamma$ waarvoor de raaklijn aan $T$ evenwijdig is met $AC$, en $T$ ligt op de korte boog $\overline{QR}$.
Beschouw de homothetie met centrum $B$ die $\Gamma_1$ op $\Gamma$ afbeeldt (positieve schaal). Deze beeldt $M$ op $T$ af. Hieruit volgt dat $B,M,T$ collineair zijn.
Beschouw de homothetie met centrum $D$ die $\Gamma_2$ op $\Gamma$ afbeeldt (deze homothetie heeft een negatieve schaal). Omdat de raaklijn in $N$ aan $\Gamma_2$ evenwijdig is met $AC$, en dus ook met de raaklijn in $T$ aan $\Gamma$, volgt dat $N$ op $T$ wordt afgebeeldt, en dus zijn $N,D,T$ collineair.

Het snijpunt van $KN$ en $ML$ is het centrum van de homothetie die $\Gamma_1$ op $\Gamma_2$ afbeeldt; dit is eveneens het snijpunt van de uitwendige raaklijnen. Omdat we zagen dat $T\in BM$ en $T\in DN$ en dat $B,M,L$ en $K,N,D$ collineair zijn, volgt dat $T=KN\cap ML$ en we zijn klaar, want $T\in \Gamma$ per definitie.
QED

*gebruikt lemma: in $\triangle ABC$, zij $XY$ een diameter van de incirkel, met $X\in AC$. Zij $Z=BY\cap AC$. Dan is $AZ=CX$. Zie ook lemma 2 in http://yufeizhao.com/olympiad/geolemmas.pdf