USAMO 1997

Vraag 1

Zij $p_1,p_2,p_3,\ldots$ de rij van alle priemgetallen (in stijgende volgorde), en $0 \le x_0 \le 1$. Voor een natuurlijk getal $k$, definieer $$x_k=\left\{\begin{array}{cl}0&\text{ als }x_{k-1}=0\\\left\{\frac{p_k}{x_{k-1}}\right\}&\text{ als }x_{k-1}\not=0\end{array}\right.$$ (waarbij $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$). Vind, met bewijs, alle reële $x_0\in]0,1[$ waarvoor de rij $x_0,x_1,x_2,\ldots$ uiteindelijk 0 wordt.

Vraag 2

Zij $ABC$ een driehoek en teken de gelijkbenige driehoeken $BCD, CAE, ABF$ aan de buitenkant van $ABC$, met $BC,CA,AB$ hun respectieve basissen. Bewijs dat de rechten door $A,B,C$ loodrecht op respectievelijk $EF,FD,DE$, concurrent zijn.

Vraag 3

Bewijs dat voor ieder natuurlijk getal $n$, er een unieke veelterm $Q$ bestaat met coëfficiënten uit $\{0,\ldots,9\}$ zodat $Q(-2)=Q(-5)=n$.

Vraag 4

Als we zeggen dat we een convexe $n$-hoek breken, dan wil dat zeggen dat we twee opeenvolgende zijden $AB,BC$ nemen en ze vervangen door de drie lijnstukken $AM,MN$ en $NC$, met $M$ het midden van $AB$ en $N$ het midden van $BC$. Met andere woorden, we snijden de driehoek $MBN$ af om een convexe $(n+1)$-hoek te krijgen. Een regelmatige zeshoek $\mathcal P_6$ met oppervlakte $1$ wordt gebroken om een zevenhoek $\mathcal P_7$ te bekomen. Dan breken we $\mathcal P_7$ (op eender welke van de zeven manieren) om een achthoek $\mathcal P_8$ te bekomen, en zo verder. Bewijs dat, ongeacht de manier van breken, de oppervlakte van $\mathcal P_n$ is groter dan $\frac{1}{3}$ voor alle $n\ge6$.

Vraag 5

Bewijs voor alle $a,b,c>0$ dat
$$\frac1{a^3+b^3+abc}+\frac1{b^3+c^3+abc}+ \frac1{c^3+a^3+abc} \leq\frac1{abc}.$$

Vraag 6

Veronderstel dat de rij van natuurlijke getallen $a_1,a_2,\ldots,a_{1997}$ voldoet aan
$$a_i+a_j\leq a_{i+j}\leq a_i+a_j+1$$
voor alle $i,j\geq1$ met $i+j\leq1997$. Toon aan dat er een reëel getal $x$ bestaat zodat $a_n=\lfloor nx\rfloor$ voor alle $1\leq n\leq1997$.