BrMO 1 2006

Vraag 1 Opgelost!

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 6. Bewijs dat als zowel $n-1$ als $n+1$ priem zijn, dat $n^2(n^2+16)$ deelbaar is door 720. Is het omgekeerde waar?

Vraag 2 Opgelost!

Adriaan geeft les aan een klas van 6 (paar) tweelingen. Hij wil teams opmaken voor een quiz, maar hij wil vermijden dat tweelingsbroers en/of -zussen in hetzelfde team zitten. Deze voorwaarde indachte:
(i) Op hoeveel manieren kan hij ze splitsen in twee teams van zes?
(ii) Op hoeveel manieren kan hij ze splitsen in drie teams van vier?

Vraag 3 Opgelost!

In een vierhoek $ABCD$ die omschreven is door een cirkel, snijdt de diagonaal $AC$ de hoek $DAB$ middendoor. De zijde $AD$ wordt verlengd achter $D$ tot een punt $E$. Toon aan dat $CE=CA$ als en slechts als $DE=AB$.

Vraag 4

De gelijkzijdige driehoek $ABC$ heeft zijden met lengte $N$ ($N\in\mathbb N$). De driehoek is volledig verdeeld (door rechten te tekenen evenwijdig met de zijden van de driehoek) in gelijkzijdige driehoekjes met lengte 1. Een continuë route wordt gekozen, startend vanaf de cel met hoekpunt $A$, en altijd naar een andere cel gaande door een gemeenschappelijke zijde te oversteken. Geen enkele cel wordt meer dan een keer bezocht. Vind, met bewijs, het grootst mogelijk aantal cellen dat kan bezocht worden.

Vraag 5

Zij $G$ een convexe vierhoek. Toon dat er een punt $X$ bestaat in het vlak van $G$ met de eigenschap dat iedere rechte door $X$ $G$ verdeelt in twee stukken met gelijke oppervlaktes, als en slechts als $G$ een parallellogram is.

Vraag 6

Zij $T$ een verzameling van 2005 coplanaire punten, waarvan er geen drie collineair zijn. Toon aan dat, voor eender welk van de 2005 punten, het aantal driehoeken (met als hoekpunten punten uit $T$) waar het strikt inligt, even is.