tweelingen
Opgave - BrMO 1 2006 vraag 2
Adriaan geeft les aan een klas van 6 (paar) tweelingen. Hij wil teams opmaken voor een quiz, maar hij wil vermijden dat tweelingsbroers en/of -zussen in hetzelfde team zitten. Deze voorwaarde indachte:
(i) Op hoeveel manieren kan hij ze splitsen in twee teams van zes?
(ii) Op hoeveel manieren kan hij ze splitsen in drie teams van vier?
- login om te reageren
Oplossing
(i) Elk team heeft één tweeling van elk paar. De tweelingen kunnen echter nog onderling gewisseld worden, dus het aantal mogelijkheden is $\frac{2^6}{2}=2^5=32$
(ii) Eerst kijken we naar het aantal mogelijkheden als de teams een bepaalde volgorde zouden hebben:
Voor de keuze van het eerste team zijn er $\frac{6!2^4}{2!4!}=240$ mogelijkheden. Nu zijn er nog $2$ paren tweelingen en $4$ kinderen apart niet gekozen.
Omdat geen twee kinderen van hetzelfde paar samen mogen zitten, moet van beide overblijvende tweelingen zeker $1$ in het tweede team zitten. Deze keuze kan dus gemaakt worden op $2^2=4$ manieren. Voor de rest van het team moeten er $2$ van de $4$ aparte kinderen gekozen worden, wat op $\frac{4!}{2!2!}=6$ manieren kan.
Voor het tweede team zijn dus $4*6=24$ mogelijkheden.
Tenslotte gaan alle overblijvende kinderen in het derde team (dus maar $1$ mog.).
Met volgorde van de teams zijn er dus $240*24$ mogelijke indelingen. We mogen de $3$ teams echter onderling verwisselen, dus moeten we delen door $3!=6$ om het aantal mogelijkheden zonder volgorde te krijgen. Het antwoord is dus $960$.