Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Verenigd Koninkrijk › BrMO 1 › 2006 › koordenvierhoek

koordenvierhoek

Tags:

Opgave - BrMO 1 2006 vraag 3

In een vierhoek $ABCD$ die omschreven is door een cirkel, snijdt de diagonaal $AC$ de hoek $DAB$ middendoor. De zijde $AD$ wordt verlengd achter $D$ tot een punt $E$. Toon aan dat $CE=CA$ als en slechts als $DE=AB$.

Oplossing

Ingediend door Jan

Omdat $BC$ en $CD$ dezelfde omtrekshoeken hebben, kunnen we stellen dat

$$CB=CD$$

$ABCD$ is een koordenvierhoek, dus geldt dat $\angle ABC = \pi - \angle ADC$, of met andere woorden

$$\angle ABC = \angle EDC$$

Wanneer gegeven is dat $AB=DE$, dan volgt uit congruentie van $\Delta ABC$ en $\Delta EDC$ dat $CE=CA$

Wanneer gegeven is dat $CE=CA$, dan geldt dat $\angle BAC = \angle CAD = \angle DEC$. Opnieuw zijn $\Delta ABC$ en $\Delta EDC$ congruent en volgt het dat $AB=DE$.