Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Verenigd Koninkrijk › BrMO 1 › 2006 › deelbaar door 720

deelbaar door 720

Tags:

Opgave - BrMO 1 2006 vraag 1

Zij $n$ een natuurlijk getal groter dan 6. Bewijs dat als zowel $n-1$ als $n+1$ priem zijn, dat $n^2(n^2+16)$ deelbaar is door 720. Is het omgekeerde waar?

Oplossing

Ingediend door De Koning

$720 = 5 \cdot 9 \cdot 8$

  • $n^2(n^2+16)$ is deelbaar door 8 want $2|n$ dus $4|n^2$ en $4|(n^2+16)$
  • $n$ is deelbaar door 3 dus $9|n^2$ (anders zou $3|n+1$ of $3|n-1$ )
  • stel $n$ is niet deelbaar door 5, dan is $n=2\pmod 5$ of $n=3\pmod 5$ en in elk geval $5|n^2+16$

[/]

Ingediend door Psycho

Is het omgekeerde waar?

Nee. Stel bvb $n=48$, dan $720|48^2(48^2+16)$ en $n+1$ niet priem.