BrMO 1 1997
Vraag 1 Opgelost!
$N$ is een getal van vier cijfers, dat niet eindigt op 0, en $R(N)$ is het getal van vier cijfers dat je bekomt door de cijfers van $N$ in omgekeerde volgorde te plaatsen; bijvoorbeeld, $R(3275)=5723$.
Bepaal alle natuurlijke getallen $N$ waarvoor geldt dat $R(N)=4N+3$.
Vraag 2 Opgelost!
Voor natuurlijke getallen $n$ wordt de rij $a_1,a_2,a_3,\cdots$ gedefinieerd door
$$a_1=1; a_n=\displaystyle{\left(\frac{n+1}{n-1}\right)(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1})}, n>1.$$
Bepaal de waarde van $a_{1997}$.
Vraag 3 Opgelost!
De dwergen in het Land-onder-de-Berg hebben net een nieuwe decimale munteenheid ingevoerd, gebaseerd op de Pippin, met gouden munten ter waarde van 1 Pippin, 10 Pippins, 100 Pippins en 1000 Pippins.
Op hoeveel manieren is het mogelijk voor een dwerg om een rekening van 1997 Pippin te betalen met gepaste munt?
Vraag 4 Opgelost!
Zij $ABCD$ een convexe vierhoek. De middens van $AB,BC,CD,DA$ zijn respectievelijk $P,Q,R,S$. Als gegeven is dat de oppervlakte van de vierhoek $PQRS$ 1 is, bewijs dan dat de oppervlakte van de vierhoek $ABCD$ 2 is.
Vraag 5 Opgelost!
Zij $x,y,z$ positieve reële getallen.
(i) Als $x+y+z\geq3$, is het noodzakelijk zo dat $\frac1x+\frac1y+\frac1z\leq3$?
(ii) Als $x+y+z\leq3$, is het noodzakelijk zo dat $\frac1x+\frac1y+\frac1z\geq3$?