gespiegelde getallen
Opgave - BrMO 1 1997 vraag 1
$N$ is een getal van vier cijfers, dat niet eindigt op 0, en $R(N)$ is het getal van vier cijfers dat je bekomt door de cijfers van $N$ in omgekeerde volgorde te plaatsen; bijvoorbeeld, $R(3275)=5723$.
Bepaal alle natuurlijke getallen $N$ waarvoor geldt dat $R(N)=4N+3$.
- login om te reageren
Oplossing
Stel $N=\overline{abcd}$ en $R(N)=\overline{dcba}$ met $a,b,c,d$ natuurlijke getallen strikt kleiner dan $10$ en $a,d$ niet gelijk aan $0$. Dan geldt er dat $1000d+100c+10b+a=4(1000a+100b+10c+d)+3$
$\Leftrightarrow 3999a+390b+3=60c+996d$
$\Leftrightarrow 1333a+130b+1=20c+332d$
Door deze gelijkheid $\pmod2$ te nemen zien we dat $a\equiv 1\pmod2$. Stel nu dat $a\geq 3$. Dan is $LL\geq 4000$ en $RL\leq 3168$ (door $c=d=9$ maximaal te nemen), contradictie. Dus moet $a=1$. De vergelijking wordt dan
$130b+1334=20c+332d$
$\Leftrightarrow 65b+667=10c+166d$
Door deze gelijkheid $\pmod5$ te nemen zien we dat $166d\equiv 667\equiv 2\pmod5$ zodat $d\equiv 2\pmod5$. Dus $d=2$ of $d=7$. Aangezien bij $65b+667=10c+166d$ geldt dat $LL\geq 667$, moet $d\geq 4$ en omdat $d=2$ of $d=7$ moet dus $d=7$. We herschrijven de vergelijking opnieuw:
$65b=10c+495$
$\Leftrightarrow 13b=2c+99$
Door deze gelijkheid $\pmod2$ te nemen zien we dat $b\equiv 1\pmod2$. Aangezien bij $13b=2c+99$ geldt dat $RL\geq 99$, moet $b\geq 8$ en omdat $b\equiv 1\pmod2$ moet dus $b=9$. We herschrijven de vergelijking opnieuw:
$18=2c$
$\Leftrightarrow c=9$.
Dit geeft ons de unieke oplossing: $N=1997$
---
Deze vraag doet me denken aan VWO 2008 vraag 1: een gelijkaardige vraag met ook het jaartal als uniek antwoord.