rij

Opgave - BrMO 1 1997 vraag 2

Voor natuurlijke getallen $n$ wordt de rij $a_1,a_2,a_3,\cdots$ gedefinieerd door
$$a_1=1; a_n=\displaystyle{\left(\frac{n+1}{n-1}\right)(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1})}, n>1.$$
Bepaal de waarde van $a_{1997}$.

Oplossing

Uit de opgave vinden we
\begin{align*}
&a_n(n-1)=(n+1)(a_1+\dots+a_{n-1}) \\ &a_n(n-1)(n+2)=(n+1)(n+2)(a_1+\dots+a_{n-1})\\
\end{align*} noem dit $(1)$.

\begin{align*}
&a_{n+1}n=(n+2)(a_1+\dots+a_{n})\\
&a_{n+1}n(n+1)=(n+2)(n+1)(a_1+\dots+a_{n})\\
\end{align*} noem dit $(2)$.

Wanneer we $(1)$ van $(2)$ aftrekken krijgen we
\begin{align*}
&a_{n+1}n(n+1)-a_n(n^2+n-2)=a_n(n^2+3n+2) \\
&a_{n+1}n(n+1)=a_n2n(n+2) \\
&\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2(n+2)}{n+1}
\end{align*}

Hieruit volgt dat

\begin{align*}
a_n&=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\cdot\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}\cdot\dots\cdot\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdot a_1 \\
&=a_1\cdot\prod\limits_{k=1}^{n}\frac{2(k+1)}{k} \\
&=2^{n-2}(n+1)
\end{align*}
Bijgevolg is $a_{1997}=2^{1995}\cdot1998$.