convexe vierhoek
Opgave - BrMO 1 1997 vraag 4
Zij $ABCD$ een convexe vierhoek. De middens van $AB,BC,CD,DA$ zijn respectievelijk $P,Q,R,S$. Als gegeven is dat de oppervlakte van de vierhoek $PQRS$ 1 is, bewijs dan dat de oppervlakte van de vierhoek $ABCD$ 2 is.
- login om te reageren
Oplossing
Alvorens we aan het bewijs beginnen voeren we een notatie in. We noteren de oppervlakte van een willekeurige driehoek met hoekpunten $X$,$Y$ en $Z$ met $[ XYZ]$. De oppervlakte van een willekeurige vierhoek met hoekpunten $X$,$Y$,$Z$ en $U$ noteren we met $[XYZU]$.
Omdat $AP = PB$ en $BQ = QC$, is $2PQ = AC$ en is $ PQ // AC$.
Wegens $Z/Z' H Z/Z'$ is $\triangle PBQ \sim \triangle ABC$ met gelijkvormigheidsfactor $\frac 12$ en dus Dit betekent dat $[BPQ]= \frac 14 [ABC]$.
Analoog vinden we $[QCR]=\frac 14 [BCD], [RDS]= \frac 14 [CDA]$ en $[PAS]= \frac 14 [BAD].$
Dit betekent dat $$[BPQ]+[QCR]+[RDS]+[PAS]=\frac 14 \left( [ABC] + [CDA] \right) + \frac 14 \left( [BAD] + [BCD] \right) = \frac 12 [ABCD].$$
Bijgevolg is ook $[PQRS]= \frac 12 [ABCD].$