ongelijkheid
Opgave - BrMO 1 1997 vraag 5
Zij $x,y,z$ positieve reële getallen.
(i) Als $x+y+z\geq3$, is het noodzakelijk zo dat $\frac1x+\frac1y+\frac1z\leq3$?
(ii) Als $x+y+z\leq3$, is het noodzakelijk zo dat $\frac1x+\frac1y+\frac1z\geq3$?
- login om te reageren
Oplossing
(i) neen. Neem $x=y=\frac{1}{10}$ en $z=\frac{14}{5}$.
(ii) Ja. Uit de ongelijkheid tussen rekenkundig en meetkundig gemiddelde volgt dat
$$ 1 \geq \frac{x+y+z}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$$
Waaruit volgt dat $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq 3$$