BrMO 1 1996

Vraag 1

Beschouw het koppel van vier-cijferige natuurlijke getallen
$$(M,N)=(3600,2500).$$
Merk op dat $M$ en $N$ volkomen kwadraten zijn, met gelijke cijfers op twee plaatsen, en verschillende cijfers op de overige twee plaatsen.
Daarenboven, wanneer de cijfers verschillen, is het cijfer in $M$ precies 1 meer dan het corresponderende cijfer in $N$. Vind nu alle koppels van viercijferige getallen $(M,N)$ met deze voorwaarden.

Vraag 2 Opgelost!

Een functie $f$ wordt gedefinieerd over de verzameling van alle natuurlijke getallen en voldoet aan
$$f(1)=1996$$
en
$$f(1)+f(2)+\cdots+f(n)=n^2f(n) \forall n>1.$$
Bepaal de waarde van $f(1996)$.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $ABC$ een schephoekige driehoek met middelpunt $O$. De cirkel door $A,O$ en $B$ wordt $S$ genoemd. De rechten $CA$ en $CB$ snijden de cirkel $S$ opnieuw in $P$ en $Q$ respectievelijk. Bewijs dat de rechten $CO$ en $PQ$ loodrecht op elkaar staan.
(Het midden van een driehoek $XYZ$ wordt gedefinieerd als het middelpunt van de cirkel die door de drie hoekpunten gaat.)

Vraag 4 Opgelost!

Voor elk reëel getal $x$ noteren we met $\left\lfloor x\right\rfloor$ het grootste natuurlijk getal, kleiner dan of gelijk aan $x$. Definieer
$$q(n)=\left\lfloor\frac {n}{\left\lfloor{\sqrt n}\right\rfloor}\right\rfloor\text{ met }n=1,2,3,\cdots$$
Bepaal alle natuurlijke getallen waarvoor $q(n)>q(n+1)$.

Vraag 5 Opgelost!

Zij $a,b,c$ drie positieve reële getallen.
(i) Bewijs dat $4(a^3+b^3)\geq(a+b)^3$.
(ii) Bewijs dat $9(a^3+b^3+c^3)\geq(a+b+c)^3$.