middelpunt van de omgeschreven cirkel
Opgave - BrMO 1 1996 vraag 3
Zij $ABC$ een schephoekige driehoek met middelpunt $O$. De cirkel door $A,O$ en $B$ wordt $S$ genoemd. De rechten $CA$ en $CB$ snijden de cirkel $S$ opnieuw in $P$ en $Q$ respectievelijk. Bewijs dat de rechten $CO$ en $PQ$ loodrecht op elkaar staan.
(Het midden van een driehoek $XYZ$ wordt gedefinieerd als het middelpunt van de cirkel die door de drie hoekpunten gaat.)
- login om te reageren
Oplossing
Noem het snijpunt van $CO$ met $PQ$ en met de omgeschreven cirkel van $\Delta ABC$ $D$ en $R$ respectievelijk.
Merk op dater $4$ mogelijke configuraties zijn, naargelang $P$ al dan niet op het lijnstuk $[AC]$ ligt en $Q$ al dan niet op het lijnstuk $[BC]$ ligt.
Als voorbeeld, nemen we eerst aan dat $P$ en $Q$ beiden op het respectievelijke lijnstuk liggen.
Dan geldt dat
$ \angle DCP + \angle CPD$
$= \angle RBA + (180° - \angle QPA)$, want $\angle DCP$ en $\angle RBA$ zijn omtrekshoeken op $\stackrel\frown{AR}$.
$= \angle RBA + (180° - (180° - \angle ABQ))$, want $\angle QPA$ en $\angle ABQ$ zijn tegenoverstaande hoeken in koordenvierhoek $ABQP$.
$= \angle RBA + \angle ABQ$
$= \angle RBC$
$= 90°$, want $\angle RBC$ is een omtrekshoek op diameter $[RC]$.
Wanneer we werken met gerichte hoeken, kunnen we dit echter voor de $4$ gevallen in één keer tonen:
$\begin{align}
\angle DCP + \angle CPD &= \angle RCA + \angle APD\\
&= \angle RBA + \angle APQ\\
&= \angle RBA + \angle ABQ\\
&= \angle RBQ \\
&= \angle RBC\\
&= 90^{\circ}\\
\end{align}$
Bijgevolg is $\angle PDC = 180° - \angle DCP - \angle CPD = 90^{\circ}$ en staan $CO$ en $PQ$ dus loodrecht op elkaar.