ongelijkheid
Opgave - BrMO 1 1996 vraag 5
Zij $a,b,c$ drie positieve reële getallen.
(i) Bewijs dat $4(a^3+b^3)\geq(a+b)^3$.
(ii) Bewijs dat $9(a^3+b^3+c^3)\geq(a+b+c)^3$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
(i) Stel dat $4(a^3+b^3)<(a+b)^3$. Uitwerken geeft:
$3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^2<0\\
\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2-b^3<0\\
\Leftrightarrow (a^2-b^2)(a-b)<0\\
\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)<0$
wat duidelijk een contradictie is.
----
Analoog aan de oplossing voor het tweede deel is dit een gevolg van Powermean of Jensen.
voor (ii): Beschouw $f(x)=x^3$. Deze functie is convex over de positieve getallen, dus volgens Jensen:
$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3$ wat equivalent is aan het gevraagde $\blacksquare$