functievergelijking
Opgave - BrMO 1 1996 vraag 2
Een functie $f$ wordt gedefinieerd over de verzameling van alle natuurlijke getallen en voldoet aan
$$f(1)=1996$$
en
$$f(1)+f(2)+\cdots+f(n)=n^2f(n) \forall n>1.$$
Bepaal de waarde van $f(1996)$.
- login om te reageren
Oplossing
Er geldt
$$f(1) + \cdots + f(n-1) = (n-1)^2 f(n-1)$$ en
$$f(1) + \cdots + f(n) = n^2 f(n).$$
Door het verschil van deze twee uitdrukkingen te nemen vinden we dus $$f(n)=n^2 f(n) - (n-1)^2 f(n-1).$$
Hieruit volgt na wat herschikking en rekenwerk dat
$$f(n) = \left( \frac{n-1}{n+1} \right) f(n-1),$$
en dus
$$f(1996) = \frac{1995}{1997} \cdot \frac{1994}{1996} \cdot \frac{1993}{1995} \cdots \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1996 = \frac{2}{1997} . $$