floor(x)
Opgave - BrMO 1 1996 vraag 4
Voor elk reëel getal $x$ noteren we met $\left\lfloor x\right\rfloor$ het grootste natuurlijk getal, kleiner dan of gelijk aan $x$. Definieer
$$q(n)=\left\lfloor\frac {n}{\left\lfloor{\sqrt n}\right\rfloor}\right\rfloor\text{ met }n=1,2,3,\cdots$$
Bepaal alle natuurlijke getallen waarvoor $q(n)>q(n+1)$.
- login om te reageren
Oplossing
Stel $n+1$ is geen volkomen kwadraat, dan geldt dat $\lfloor \sqrt{n}\rfloor=\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor$ Het is niet moeilijk om in te zien dat als de noemer onveranderd blijft, en de teller (mogelijk stijgt), dat $q(n)\le q(n+1)$
Stel $n+1$ is wel een kwadraat, nl. $a^2$, dan is $\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor=\sqrt{n+1}=a$ en $\lfloor \sqrt{n}\rfloor=a-1$
Het is duidelijk dat $\lfloor \sqrt{n+1}\rfloor \mid n+1$ en aangezien $n=a^2-1=(a-1)(a+1)$, is ook $\lfloor \sqrt{n}\rfloor \mid n$. Zo bekomen we dat $q(n)=a+1$ en $q(n+1)=a$.
Dus er geldt dat $q(n)>q(n+1)$ als $n+1$ een volkomen kwadraat is.