NWO 2009

Vraag 1 Opgelost!

We bekijken in deze opgave positieve gehele getallen bestaande uit $5$ cijfers, waarvan het eerste en het laatste cijfer niet nul zijn. We noemen zo’n getal een palindroomproduct als het aan de volgende twee voorwaarden voldoet:
• het getal is een palindroom (d.w.z. van links naar rechts gelezen hetzelfde als van rechts naar links gelezen);
• het getal is een product van twee positieve gehele getallen, waarvan het ene getal van links naar rechts gelezen gelijk is aan het andere getal van rechts naar links gelezen, zoals $4831$ en $1384$.
Zo is $20502$ een palindroomproduct, want $102 \cdot 201 = 20502$ en $20502$ is zelf een palindroom.
Bepaal alle palindroomproducten van $5$ cijfers.

Vraag 2

We bekijken de rij getallen $0, 1, 2, 4, 6, 9, 12,$ die we maken door met $0$ te beginnen, dan $1$ erbij op te tellen en nog een keer 1 erbij op te tellen, dan $2$ erbij op te tellen en nog een keer $2$ erbij op te tellen, dan $3$ erbij op te tellen en nog een keer $3$ erbij op te tellen, enzovoorts. Als we de termen van deze rij $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4,\dots$ noemen, dan geldt dus $a_0 = 0$ en
$a_{2n−1} = a_{2n−2} + n$ en $a_{2n} = a_{2n−1} + n$ voor alle gehele getallen $n > 1$. Vind alle gehele getallen $k > 0$ waarvoor $a_k$ het kwadraat van een geheel getal is.

Vraag 3

Aan een tennistoernooi nemen minimaal drie spelers deel. Elke speler speelt precies één wedstrijd tegen elke andere speler en bovendien wint elke speler ten minste één wedstrijd van alle wedstrijden die hij speelt. (Er is bij een tenniswedstrijd altijd een winnaar en een verliezer, remise komt niet voor.) Bewijs dat er drie spelers A, B en C zijn waarvoor geldt: A wint van B, B wint van C en C wint van A.

Vraag 4

Gegeven is een willekeurige driehoek $ABC$. Op de middelloodlijn van $AB$ ligt een punt $P$, binnen driehoek $ABC$. Op zijden $BC$ en $CA$ worden uitwendig driehoeken $BQC$ en $CRA$ gezet zodanig, dat $\triangle BPA \sim \triangle BQC \sim \triangle CRA$. (Dus $Q$ en $A$ liggen aan weerszijden van $BC$, en $R$ en $B$ liggen aan weerszijden van $AC$.) Bewijs dat de punten $P$, $Q$, $C$ en $R$ een parallellogram vormen.

Vraag 5

Honderd blanco kaarten worden genummerd: een kaart met op beide zijden het getal 1, een kaart met op beide zijden het getal 2, enzovoorts, tot en met een kaart met op beide zijden het getal 100. De kaarten worden geordend op een stapel gelegd, de kaart met het getal 1 boven. De volgorde van de kaarten wordt telkens per stap als volgt veranderd: bij de 1e stap wordt de bovenste kaart omgedraaid en terug op de stapel gelegd (er verandert hierdoor natuurlijk niets), bij de 2e stap worden de bovenste 2 kaarten gepakt, omgedraaid en terug op de stapel gelegd, ..., bij de ie stap worden de bovenste i kaarten gepakt, als stapeltje op hun kop gelegd en terug op de stapel gelegd, ..., bij de 100e stap worden alle 100 kaarten gepakt en als stapel op hun kop gelegd. Bij de 101e stap wordt weer alleen de bovenste kaart omgedraaid, bij de 102e stap de bovenste 2, enzovoorts. Bewijs dat als we zo doorgaan, de kaarten na een aantal stappen weer op hun uitgangsposities terug zijn.