Palindroomproducten
Opgave - NWO 2009 vraag 1
We bekijken in deze opgave positieve gehele getallen bestaande uit $5$ cijfers, waarvan het eerste en het laatste cijfer niet nul zijn. We noemen zo’n getal een palindroomproduct als het aan de volgende twee voorwaarden voldoet:
• het getal is een palindroom (d.w.z. van links naar rechts gelezen hetzelfde als van rechts naar links gelezen);
• het getal is een product van twee positieve gehele getallen, waarvan het ene getal van links naar rechts gelezen gelijk is aan het andere getal van rechts naar links gelezen, zoals $4831$ en $1384$.
Zo is $20502$ een palindroomproduct, want $102 \cdot 201 = 20502$ en $20502$ is zelf een palindroom.
Bepaal alle palindroomproducten van $5$ cijfers.
- login om te reageren
Oplossing
Stel dat $x\cdot y=z$ waarbij $z$ een palindroomproduct is en $x=\overline{abc}$ en $y=\overline{cba}$ (het is makkelijk in te zien dat $x$ enkel uit $3$ cijfers kan bestaan, aangezien zowel $x$ als $y$ geen nul mogen hebben op begin of einde).
Dan is $z=10001ac+01010b(a+c)+00100(a^2+b^2+c^2)$. Hieruit kunnen we drie voorwaarden halen:
$ac\leq 9$
$b(a+c)\leq 9$ en
$a^2+b^2+c^2\leq 9$.
Er zijn voor $(a,c)$ dan slechts $3$ mogelijkheden over: $(1,1),(1,2),(2,2)$. Nu kunnen we voor elke van deze mogelijkheden een $b$-waarde $<3$ uitproberen.
Dit geeft ons de oplossingen voor $(x,z)$: $(101,10201),(111,12321),(121,14641),(102, 20502),(112,23632),(122,26962),(202,40804),(212,44944)$