NWO 2003

Vraag 1 Opgelost!

Een Pythagore\"ische driehoek is een rechthoekige driehoek waarvan de drie zijden gehele getallen zijn. Het bekendste voorbeeld is de driehoek met rechthoekszijden 3 en 4 en hypotenusa 5. Bepaal alle Pythagore\"ische driehoeken waarvan de oppervlakte gelijk is aan tweemaal de omtrek.

Vraag 2 Opgelost!

Twee vierkanten met zijde 12 liggen precies op elkaar. Het ene vierkant wordt om een hoekpunt over een hoek van 30 graden
gedraaid t.o.v. het andere vierkant. Bepaal de oppervlakte van het gemeenschappelijke stuk van de twee vierkanten.

Vraag 3 Opgelost!

Bepaal alle positieve gehele getallen $n$ die zowel te schrijven zijn als het product van twee opeenvolgende gehele getallen als het product van vier opeenvolgende gehele getallen. In formule: $n=a(a+1)=b(b+1)(b+2)(b+3)$.

Vraag 4

In een cirkel met middelpunt $M$ snijden twee koorden $AC$ en $BD$ elkaar loodrecht. De cirkel met middellijn $AM$ snijdt de cirkel met middellijn $BM$ behalve in $M$ ook nog in punt $P$. De cirkel met middellijn $BM$ snijdt de cirkel met middellijn $CM$ behalve in $M$ ook nog in punt $Q$. De cirkel met middellijn $CM$ snijdt de cirkel met middellijn $DM$ behalve in $M$ ook nog in punt $R$. De cirkel met middellijn $DM$ snijdt de cirkel met middellijn $AM$ behalve in $M$ ook nog in punt $S$. Bewijs dat vierhoek $PQRS$ een rechthoek is.

Vraag 5 Opgelost!

Op een tafel ligt een aantal kaarten. Op elke kaart is een getal geschreven. De operatie "pak en vervang" houdt het volgende in: twee willekeurige kaarten worden van de tafel gepakt en vervangen door één nieuwe kaart. Als op de twee gepakte kaarten de getallen
$a$ en $b$ staan, dan wordt op de nieuwe kaart het getal $a+b+ab$ gezet. Als we beginnen met tien kaarten waarop respectievelijk de getallen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 en 10 staan, welke waarde(n) kan het getal dan hebben dat na negen keer "pak en vervang" op de enige kaart staat die nog op tafel ligt? Bewijs je antwoord.