kaartspel
Opgave - NWO 2003 vraag 5
Op een tafel ligt een aantal kaarten. Op elke kaart is een getal geschreven. De operatie "pak en vervang" houdt het volgende in: twee willekeurige kaarten worden van de tafel gepakt en vervangen door één nieuwe kaart. Als op de twee gepakte kaarten de getallen
$a$ en $b$ staan, dan wordt op de nieuwe kaart het getal $a+b+ab$ gezet. Als we beginnen met tien kaarten waarop respectievelijk de getallen 1,2,3,4,5,6,7,8,9 en 10 staan, welke waarde(n) kan het getal dan hebben dat na negen keer "pak en vervang" op de enige kaart staat die nog op tafel ligt? Bewijs je antwoord.
- login om te reageren
Oplossing
Of je schrijft gewoon $\prod^n_{i=1} (1+a_i)-1$, met $a_i$ het getal op de $i$-de kaart. De inductie volgt zo direct: noem dat product $P_n$ dan hebben we $a_{n+1} + (P_n-1) + a_{n+1}(P_n-1) = (a_n+1)P_{n}-1=P_{n+1}-1$. :)