vierkanten
Opgave - NWO 2003 vraag 2
Twee vierkanten met zijde 12 liggen precies op elkaar. Het ene vierkant wordt om een hoekpunt over een hoek van 30 graden
gedraaid t.o.v. het andere vierkant. Bepaal de oppervlakte van het gemeenschappelijke stuk van de twee vierkanten.
- login om te reageren
Oplossing
We noemen de vierhoek waarvan we de oppervlakte moeten berekenen $ABCD$.
Teken dan de rechte $BD$ . We zien dat driehoek $BCD$ gelijkzijdig is
( $|BC|=|CD|=12$ en $\angle C=60^{\circ} $ )
Bijgevolg is driehoek $ABD$ gelijkbenig => $\angle A=\angle B=30^{\circ} $
($90^{\circ} - 60^{\circ}= 30^{\circ}$). De tophoek meet dus $
120^{\circ}$.
We berekenen nu afzonderlijk de oppervlakte van elke driehoek.
1) Driehoek $BCD$ :
$12^{2}.(\sqrt{3}/4)= 36\sqrt{3}$ (formule opp. gelijkzijdige driehoek)
2) In driehoek $ABD$ geldt dat $|AB|=|AD|$ en $|BD|=12$ :
$|BD|^{2}= |AB|^{2}+|AD|^{2}-2|AB|.|AD|.cos 120^{\circ}$
$|BD|^{2}=3|AB|^{2}$
$144=3|AB|^{2}$
$|AB|= 4\sqrt{3}$
3) Hoogte driehoek $ABD$ :
We laten de hoogtelijn uit $\angle A$ neer op $BD$ . We noemen het voetpunt $S$.
=> $sin30^{\circ}= \frac{|AS|}{|AB|}$
=> $\frac{1}{2}=\frac{|AS|}{4\sqrt{3}}$
=> $|AS|= 2\sqrt{3}$
4) Opp. driehoek $ABD$:
$\frac{12.2\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$
Totale opp. $ABCD$ is dus $48\sqrt{3}$