diophantische vergelijking
Opgave - NWO 2003 vraag 3
Bepaal alle positieve gehele getallen $n$ die zowel te schrijven zijn als het product van twee opeenvolgende gehele getallen als het product van vier opeenvolgende gehele getallen. In formule: $n=a(a+1)=b(b+1)(b+2)(b+3)$.
- login om te reageren
Oplossing
Merk op dat $a(a+1) = b(b+1)(b+2)(b+3) = (b^2+3b)(b^2+3b+2) = b'(b'+2)$, waarbij $b'=b^2+3b$. Als $b' \geq a$, dan is $b'(b'+2) \geq a(a+2) > a(a+1)$. Als $b' < a$, dan is $a(a+1) = b'(b+2) < a(b'+2)$, dus $a+1 < b'+2$, dus $a < b'+1$, dus $b' < a < b'+1$, wat onmogelijk is. Geen oplossingen dus :cool:
Simpeler: $a^2 + a + 1 = \left(b^2 + 3b + 1\right)^2$, maar $a^2 < a^2 + a + 1 < (a + 1)^2$, contradictie.