driehoeken van Pythagoras
Opgave - NWO 2003 vraag 1
Een Pythagore\"ische driehoek is een rechthoekige driehoek waarvan de drie zijden gehele getallen zijn. Het bekendste voorbeeld is de driehoek met rechthoekszijden 3 en 4 en hypotenusa 5. Bepaal alle Pythagore\"ische driehoeken waarvan de oppervlakte gelijk is aan tweemaal de omtrek.
- login om te reageren
Oplossing
we kunnen elk natuurlijk pythagoreïsch drietal $(a,b,c)$ voorstellen met $(x^2-y^2, 2xy, x^2+y^2)$ met $x,y$ natuurlijke getallen (niet nul). het gegeven vertaalt zich als $xy(x^2-y^2)=4x^2+4xy$. hieruit volgt $y(x-y)=4$ ($x,y$ niet nul). $y$ deelt dus 4, dit geeft ons de drie oplossingen voor $(x,y)$: $(4,2),(5,1),(5,4)$.
Deze staan "parallel" met de drietallen $(16,12,20),(24,10,26),(9,40,41)$.
Er zijn dus drie driehoeken die voldoen aan de voorwaarden. $\blacksquare$