NWO 1999

Vraag 1 Opgelost!

Een functie $f$ heeft de volgende twee eigenschappen:
(i) $f(n)=1$ of $f(n)=-1$ voor elk geheel getal $n$,
(ii) $f(mn)=f(m)f(n)$ voor alle gehele getallen $m$ en $n$.
Laat zien dat er een getal $a$ bestaat, $1\leq a\leq12$, met $f(a)=1$ en $f(a+1)=1$.

Vraag 2 Opgelost!

Van een vierkant bestaande uit 81 eenheidsvierkanten worden sommige vierkanten zwart gekleurd en andere vierkanten wit en wel zo, dat van elke rechthoek die uit 6 eenheidsvierkanten bestaat van de vorm $2\times3$ of $3\times2$ er twee vierkanten zwart zijn en vier wit.
Hoeveel zwarte vierkanten bevat het gehele vierkant? Beredeneer dat er geen enkel ander antwoord mogelijk is.

Vraag 3

Gegeven zijn een vierkant $ABCD$ en een lijn $l$. Het punt $M$ is het snijpunt van de diagonalen van het vierkant. De lengte van elk van de diagonalen van het vierkant is 2 en de afstand van $M$ tot de lijn $l$ is groter dan 1. De hoekpunten $A,B,C,D$ worden op $l$ geprojecteerd. De projecties zijn respectievelijk $A',B',C',D'$. Het vierkant wordt gedraaid om $M$, waarbij de punten $A,B,C,D$ meedraaien en hun projecties $A',B',C',D'$ op $l$ meebewegen. Bewijs dat de waarde van $A'A^2+B'B^2+C'C^2+D'D^2$ tijdens het draaien niet verandert.

Vraag 4

Een $8\times8-$matrix is een getallenschema met 64 getallen ingedeeld in 8 horizontale rijen en 8 verticale kolommen. De getallen in de matrix mogen gewijzigd worden volgens de volgende twee spelregels:
(i) Alle getallen in een rij worden verdubbeld.
(ii) Alle getallen in een kolom worden met 1 verminderd.
Bewijs dat elke $8\times8-$matrix die alleen gehele getallen groter dan 0 bevat met bovenstaande spelregels te veranderen is in een matrix die alleen nullen bevat.

Vraag 5

Bij een niet-negatief geheel getal $c$ wordt de rij $a_1,a_2,a_3,\ldots$ gedefinieerd door $a_n=n^2+c$ voor $n=1,2,3,\ldots$. Bij deze rij $a_1,a_2,a_3,\ldots$ definiëren we een rij $d_1,d_2,d_3,\ldots$ door $d_n$ is de grootste gemeenschappelijke deler van $a_n$ en $a_{n+1}$.
a) Neem $c=0$ en laat zien dat $d_n=1$ voor $n=1,2,3,\ldots$.
b) Neem $c=1$ en laat zien dat $d_n=1$ of $d_n=5$ voor $n=1,2,3,\ldots$.
c) Algemeen: laat zien dat bij elke $c$ de grootste waarde die voorkomt in de rij $d_1,d_2,d_3,\ldots$ gelijk is aan $4c+1$.