kleurprobleem
Opgave - NWO 1999 vraag 2
Van een vierkant bestaande uit 81 eenheidsvierkanten worden sommige vierkanten zwart gekleurd en andere vierkanten wit en wel zo, dat van elke rechthoek die uit 6 eenheidsvierkanten bestaat van de vorm $2\times3$ of $3\times2$ er twee vierkanten zwart zijn en vier wit.
Hoeveel zwarte vierkanten bevat het gehele vierkant? Beredeneer dat er geen enkel ander antwoord mogelijk is.
- login om te reageren
Oplossing
Verdeel het vierkant in 4 delen:
-een vierkant van 6 op 6 (in een hoek)(dit vierkant bevat 6 rechthoekjes van 2 op 3, dus 12 zwarte vakjes)
-een tweede vierkant van 3 op 3 in de tegenoverstaande hoek
-twee rechthoeken van 6 op 3 die het vierkant vervoledigen (bevatten elk 3 rechtoekjes, dus elk 6 zwarte vakjes)
Het vierkant van 3 op 3 kan niet minder dan 3 zwarte vakjes bevatten. Als het er maar 2 waren zouden ze alle twee in elk van de 4 rechthoeken moeten voorkomen. Er is echter maar 1 zo'n vakje: het middelste van de 9.
Het vierkant van 3 op 3 kan niet meer dan 4 zwarte vakjes bevatten, want stel dat er 5 in het vierkant kunnen voorkomen dan bevat de bovenste rechthoek er 2 en de onderste dus minstens de overige 3 (tegenspraak).
De mogelijkheden 3 en 4 blijven nog over. Veronderstel dat het met vier kan, de zwarte vakjes mogen dan enkel in de bovenste 3 en onderste 3 vakjes liggen (anders, als er een vakje in de middelste 3 ligt kan er in de bovenste rechthoek nog maar een vakje bij, net zoals in de onderste rechthoek, 3 in het totaal dus maar). Hetzelfde geldt natuurlijk voor links en rechts. De 4 zwarte vakjes moeten dus in de hoeken liggen. Dan zijn de 3 vakjes onder het vierkant wit(of boven, of naast, afhankelijk van de keuze van de plaats van je vierkant). Dan bevat een rechthoek die 4 van de negen vakjes van het kleine vierkant bevat slechts 1 zwart vakje (tegenspraak).
Het totale aantal zwarte vakjes is dus $12+3+6*2=27$. Dat dat ook weldegelijk kan, wordt bewezen door volgend voorbeeld:
Het vakje linksboven kleur je zwart, ook de vakjes 3 ernaast en eronder en 6 ernaast en eronder, daarna kleur je ook alle vakjes zwart die diagonaal rechtsonder een ander zwart vakje liggen.