NWO 1991

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat voor elk drietal positieve reële getallen $a,b$ en $c$ geldt dat
$$\frac1{a+b}+\frac1{b+c}+\frac1{c+a}\geq\frac9{2(a+b+c)}.$$

Vraag 2

Gegeven zijn een hoek $A=\alpha$ met $0<\alpha<\pi$ en het punt $P_0$ op een van de benen van de hoek met $AP_0=2$. Op het andere been van de hoek wordt een punt $P_1$ gekozen. Voor zover mogelijk worden nu de punten $P_1,P_2,P_3,P_4,\ldots$ getekend steeds zo dat $P_n$ ligt tussen $A$ en $P_{n-2}$ en $\triangle P_nP_{n-1}P_{n-2}$ gelijkbenig is met top $P_n$ (dus $P_nP_{n-1}=P_nP_{n-2}$ voor $n\geq2$).
Zie tekening waarbij de rij afbreekt na $P_7$.

a) Bewijs dat er bij elke waarde van $\alpha$ precies één punt $P_1$ gekozen kan worden zodanig dat de rij $P_1,P_2,P_3,\ldots,P_n,\ldots$ niet afbreekt.
b) Gegeven is dat de rij $P_1,P_2,P_3,\ldots,P_n,\ldots$ niet afbreekt en dat de lengte van het gebroken (zigzag) lijnstuk $P_0P_1P_2P_3\ldots P_k$ tot 5 nadert als $k$ naar oneindig gaat. Bereken de lengte van $P_0P_1$.

Vraag 3 Opgelost!

Als voor alle $x\in\mathbb R$ en de functie $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ geldt dat
$$4f(f(x))-2f(x)-3x=0,$$
bewijs dan dat $f$ alleen bij $x=0$ de waarde 0 aanneemt.

Vraag 4 Opgelost!

Van drie reële getallen $a,b,c$ is gegeven dat $a+b+c=3$, $a^2+b^2+c^2=9$, $a^3+b^3+c^3=24$. Bereken $a^4+b^4+c^4$.

Vraag 5

Gegeven is een scherphoekige driehoek $ABC$ met hoogtepunt $H$. $M$ is het middelpunt en $R$ de lengte van de straal van de omgeschreven cirkel; notatie $\mathcal C(M,R)$. $\mathcal C(A,R)$ en $\mathcal C(B,R)$ snijden elkaar in de punten $M$ en $F$, $\mathcal C(A,R)$ en $\mathcal C(C,R)$ snijden elkaar in de punten $M$ en $E$, $\mathcal C(B,R)$ en $\mathcal C(C,R)$ snijden elkaar in de punten $M$ en $D$. Bewijs:
a) De punten $D,E$ en $F$ liggen op $\mathcal C(H,R)$.
b) De oppervlakte van het gebied dat bestaat uit $\mathcal C(H,R)$ zonder de drie gebieden die gevormd worden door de bogen $MD,ME$ en $MF$ (zie het gearceerde deel in de figuur) is gelijk aan tweemaal de oppervlakte van $\triangle ABC$.