Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Nederland › NWO › 1991 › functievergelijking

functievergelijking

Tags:

Opgave - NWO 1991 vraag 3

Als voor alle $x\in\mathbb R$ en de functie $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ geldt dat

$$4f(f(x))-2f(x)-3x=0,$$

bewijs dan dat $f$ alleen bij $x=0$ de waarde 0 aanneemt.

Oplossing

Ingediend door arne

Omdat het ook eens triviaal mag zijn: neem $f(0) = c$. Door $x = 0$ te nemen in de gegeven vergelijking zien we dat $c = 2f(c)$. Door $x = c$ te nemen zien we dat $f\left(\frac{c}{2}\right) = c$. Door $x = \frac{c}{2}$ te nemen zien we dan dat $c = 0$. Stel nu dat $f(\alpha) = 0$. Door $x = \alpha$ te nemen zien we dat $\alpha = 0$, en we zijn klaar.